Bibliografía

Metodos Cuantitativos
Para los Negocios

Novena Edicion

Autores

• Anderson
• Sweeney
• Williams

Probabilidades

TEMA: PROBABILIDADES

INTRODUCCION:

En el presente tema presente tema continuamos el estudio de la probabilidad introduciendo la Variable Aleatoria y distribución de probabilidades de variables aleatorias tanto discretas como continuas. Las variables aleatorias son descripciones númericas de los resultados de experimentos. Cuando se usan variables aleatorias los cálculos del valor esperado, la varianza y la desviación estándar pueden ayudar a quien toma decisiones o entender las características del problema en estudio.

Entre las probabilidades podemos mencionar:

• Probabilidad binomial
• Probabilidad de poisson
• Uniforme
• Normal
• Exponencial

VARIABLE ALEATORIA:

Es la descripción numérica del resultado de un experimento y deben asumir valores numéricos.

CLASIFICACIÓN

Variable aleatoria discreta: Es aquella que únicamente puede asumir una secuencia (finita o infinita) de valores (por ejemplo, 1, 2, 3,……).

Variable aleatoria continua: Como por ejemplo el peso, el tiempo y la temperatura que pueden asumir cualquier valor en un determinado intervalo o colección de intervalos.

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

Una distribución de probabilidad discreta, siempre deben satisfacerse dos requerimientos:

f(x) ≥ 0 ∑f(x) = 1

VALOR ESPERADO:

Es un promedio ponderado de todos los valores posibles de la misma, donde los pesos son las probabilidades asociadas con los valores. La fórmula matemática para calcular el valor esperado de una variable aleatoria discreta x es

Para calcular el valor esperado de una variable aleatoria discreta, debemos multiplicar cada valor de la variable aleatoria por su correspondiente probabilidad y luego sumar los términos resultantes.

El valor esperado de una variable aleatoria es el valor medio, o promedio. Para experimentos que pueden repetirse numerosas veces, el valor esperado puede interpretarse como el valor promedio “a la larga” para la variable aleatoria.

CALCULO DEL VALOR ESPERADO:

Normal 0 21 false false false ES X-NONE X-NONE

x	f(x)	xf(x)
0	0.18	0(0.18)=0.00
1	0.39	1(0.39)=0.39
2	0.24	2(0.24)=0.48
3	0.14	3(0.14)=0.42
4	0.04	4(0.04)=0.16
5	0.01	5(0.01)=0.05
		E(x)=1.50

Fórmula alternativa para la varianza de una variable aleatoria discreta es:

Var(x) = ∑x2f(x) - µ2

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD BINOMIAL

Si suponemos que x denota el valor de esta variable aleatoria, entonces x puede tener un valor de 0, 1, 2, 3,…..n, dependiendo del número de éxitos observados en los n ensayos. La distribución de probabilidad asociada con esta variable aleatoria se conoce como distribución de probabilidad binomial.

f(x) = (n!/x!(n-x)!) p^x(1-p)^n-x x=0,1,……,n

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD BINOMIAL

Si suponemos que x denota el valor de esta variable aleatoria, entonces x puede tener un valor de 0, 1, 2, 3,…..n, dependiendo del número de éxitos observados en los n ensayos. La distribución de probabilidad asociada con esta variable aleatoria se conoce como distribución de probabilidad binomial.

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE POISSON

1. La probabilidad de una ocurrencia del evento es la misma para cualesquiera dos intervalos de igual longitud.
2. La ocurrencia o no ocurrencia del evento en cualquier intervalo es independiente de la ocurrencia o no ocurrencia en cualquier otro intervalo.

FORMULA:

f(x) = λxе-λ/x! para x= 0, 1, 2,…..

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL

Quizá la distribución de probabilidad más importante usada para describir una variable aleatoria continua es la distribución de probabilidad normal. Es aplicable en muchas situaciones de problemas prácticos y su función de densidad de probabilidad tiene la forma de la curva en forma de campana.

f(x) = (1/σ√2π)е-(x-µ)2/2σ2 para -∞<∞

Distribucion Normal Estandard

Se dice que una variable aleatoria que tiene una distribución normal con una media de 0 y una desviación estándar de 1 tiene una distribución normal estándar. Usamos la letra z para designar esta variable aleatoria normal particular.

Tabla de Valores "Z"

TABLA VALORES “Z”:

z	0.00	0.01	0.02	0.03	0.04	0.05	0.06	0.07	0.08	0.09
0.0	0.5000	0.5040	0.5080	0.5120	0.5160	0.5199	0.5239	0.5279	0.5319	0.5359
0.1	0.5398	0.5438	0.5478	0.5517	0.5557	0.5596	0.5636	0.5675	0.5714	0.5753
0.2	0.5793	0.5832	0.5871	0.5910	0.5948	0.5987	0.6026	0.6064	0.6103	0.6141
0.3	0.6179	0.6217	0.6255	0.6293	0.6331	0.6368	0.6406	0.6443	0.6480	0.6517
0.4	0.6554	0.6591	0.6628	0.6664	0.6700	0.6736	0.6772	0.6808	0.6844	0.6879
0.5	0.6915	0.6950	0.6985	0.7019	0.7054	0.7088	0.7123	0.7157	0.7190	0.7224
0.6	0.7257	0.7291	0.7324	0.7357	0.7389	0.7422	0.7454	0.7486	0.7517	0.7549
0.7	0.7580	0.7611	0.7642	0.7673	0.7704	0.7734	0.7764	0.7794	0.7823	0.7852
0.8	0.7881	0.7910	0.7939	0.7967	0.7995	0.8023	0.8051	0.8078	0.8106	0.8133
0.9	0.8159	0.8186	0.8212	0.8238	0.8264	0.8289	0.8315	0.8340	0.8365	0.8389
1.0	0.8413	0.8438	0.8461	0.8485	0.8508	0.8531	0.8554	0.8577	0.8599	0.8621
1.1	0.8643	0.8665	0.8686	0.8708	0.8729	0.8749	0.8770	0.8790	0.8810	0.8830
1.2	0.8849	0.8869	0.8888	0.8907	0.8925	0.8944	0.8962	0.8980	0.8997	0.9015
1.3	0.9032	0.9049	0.9066	0.9082	0.9099	0.9115	0.9131	0.9147	0.9162	0.9177
1.4	0.9192	0.9207	0.9222	0.9236	0.9251	0.9265	0.9279	0.9292	0.9306	0.9319
1.5	0.9332	0.9345	0.9357	0.9370	0.9382	0.9394	0.9406	0.9418	0.9429	0.9441
1.6	0.9452	0.9463	0.9474	0.9484	0.9495	0.9505	0.9515	0.9525	0.9535	0.9545
1.7	0.9554	0.9564	0.9573	0.9582	0.9591	0.9599	0.9608	0.9616	0.9625	0.9633
1.8	0.9641	0.9649	0.9656	0.9664	0.9671	0.9678	0.9686	0.9693	0.9699	0.9706
1.9	0.9713	0.9719	0.9726	0.9732	0.9738	0.9744	0.9750	0.9756	0.9761	0.9767
2.0	0.9772	0.9778	0.9783	0.9788	0.9793	0.9798	0.9803	0.9808	0.9812	0.9817
2.1	0.9821	0.9826	0.9830	0.9834	0.9838	0.9842	0.9846	0.9850	0.9854	0.9857
2.2	0.9861	0.9864	0.9868	0.9871	0.9875	0.9878	0.9881	0.9884	0.9887	0.9890
2.3	0.9893	0.9896	0.9898	0.9901	0.9904	0.9906	0.9909	0.9911	0.9913	0.9916
2.4	0.9918	0.9920	0.9922	0.9925	0.9927	0.9929	0.9931	0.9932	0.9934	0.9936
2.5	0.9938	0.9940	0.9941	0.9943	0.9945	0.9946	0.9948	0.9949	0.9951	0.9952
2.6	0.9953	0.9955	0.9956	0.9957	0.9959	0.9960	0.9961	0.9962	0.9963	0.9964
2.7	0.9965	0.9966	0.9967	0.9968	0.9969	0.9970	0.9971	0.9972	0.9973	0.9974
2.8	0.9974	0.9975	0.9976	0.9977	0.9977	0.9978	0.9979	0.9979	0.9980	0.9981
2.9	0.9981	0.9982	0.9982	0.9983	0.9984	0.9984	0.9985	0.9985	0.9986	0.9986
3.0	0.9987	0.9987	0.9987	0.9988	0.9988	0.9989	0.9989	0.9989	0.9990	0.9990
3.1	0.9990	0.9991	0.9991	0.9991	0.9992	0.9992	0.9992	0.9992	0.9993	0.9993
3.2	0.9993	0.9993	0.9994	0.9994	0.9994	0.9994	0.9994	0.9995	0.9995	0.9995
3.3	0.9995	0.9995	0.9995	0.9996	0.9996	0.9996	0.9996	0.9996	0.9996	0.9997
3.4	0.9997	0.9997	0.9997	0.9997	0.9997	0.9997	0.9997	0.9997	0.9997	0.9998
3.5	0.9998	0.9998	0.9998	0.9998	0.9998	0.9998	0.9998	0.9998	0.9998	0.9998
3.6	0.9998	0.9998	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999
3.7	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999
3.8	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999	0.9999
3.9	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000

CALCULO DE PROBABILIDADES PARA CUALQUIER DISTRIBUCIÓN NORMAL

Cuando tenemos una distribución normal con cualquier media µ y cualquier desviación estándar σ, podemos responder preguntas de probabilidad acerca de ella transformándolas en preguntas sobre la distribución normal estándar; para eso empleamos la tabla que nos proporciona el valor “z”.

La fórmula empleada para convertir cualquier variable aleatoria normal x con media µ y desviación estándar σ a la distribución normal estándar es:

z= x-µ/σ

Cuando la usamos de esta manera, z es una medida de la cantidad de desviación estándar que x se encuentra alejada de µ.

ISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD EXPONENCIAL:

Es una distribución de probabilidad continua frecuentemente útil para describir el tiempo necesario para completar una tarea. La función de densidad de probabilidad exponencial es:

f(x)= (1/µ) е^-x/µ para x ≥ 0, µ > 0

CÁLCULO DE PROBABILIDADES PARA LA DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL:

Como cualquier distribución de probabilidad continua, el área bajo la curva correspondiente a algún intervalo da la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor dentro de ese intervalo.

Para calcular probabilidades exponenciales se empleará la siguiente fórmula:

P(x ≤ x₀) = 1 – е^-x0/µ

RELACIÓN ENTRE LAS DISTRIBUCIONES DE POISSON Y EXPONENCIAL:

En los modelos de línea de espera, la distribución de Poisson se emplea como la distribución de probabilidad para la cantidad de llegadas mientras la distribución de probabilidad exponencial se utiliza como la distribución de probabilidad para el tiempo de servicio.