METODOS CUANTITATIVOS II
TEMA: PROCESO DE MARKOV
CADENAS DE MARKOV
Una cadena de Markov es una sucesión de ensayos de un experimento en el que los resultados posibles de ensayo a ensayo dependen solamente del resultado del ensayo anterior. A lo largo de un periodo el sistema puede moverse de un estado a otro.
MATRIZ DE TRANSICION T:
Es una matriz cuadrada que indica las probabilidades de transición de un estado a otro, esto es, de un periodo de observación al siguiente. Los elementos de una matriz de transición son valores de probabilidad que satisfacen las siguientes propiedades:
1. La suma de las probabilidades en cada fila, debe ser igual a 1.
2. Todos los elementos de la matriz de transición son positivos porque son valores de probabilidad.
Vector de estado inicial, Vo.
Es un vector fila o matriz fila con las probabilidades antes de iniciar los ensayos de un experimento o antes de iniciar las observaciones de un fenómeno.
Vector de estado, Vn. Es un vector fila en el que cada elemento Vij es la probabilidad de estar en el estado j después del n-ésimo ensayo. El vector de estado Vn da las probabilidades del sistema después de ¨n observaciones.
V1 = VoT
V2 = V1 T = VoT T = VoT2
V3 = V2 T = VoT2 T = VoT3
. . . .
. . . .
Vn = VoTn
Vector de estado estable, o matriz estacionaria Q.
Es un vector fila con las probabilidades del sistema en el largo plazo. Cuando el sistema alcanza el estado estable, las probabilidades permanecen constantes para ensayos sucesivos. La matriz estacionaria satisface la propiedad QT = Q
Ejemplo. Un departamento está dividido en tres regiones demográficas. Cada año, el 16% de los residentes en la región 1 se mueve a la región 2 y el 10% se mueve a la región 3, los demás permanecen en la región 1. De los residentes en la región 2, el 15% se traslada a la región 1 y el 12% a la región 3. De los residentes en la región 3 el 8% se cambia a la región 1 y el 14% se cambia a la región 2. a) Determine la matriz de transición T.
b) Calcule la probabilidad de que un residente en la región 1 este año, sea residente de esa región el próximo año, y en dos años.
c) Si este año el 35% de la población del departamento vive en la región 1, 40% vive en la región 2 y el resto vive en la región 3, determine el porcentaje de los habitantes del departamento que serán residentes de las regiones 1, 2 y 3 después de tres años.
d) Si la población del departamento es de 120 000 habitantes, ¿cuántos estarán viviendo en cada una de las regiones después de cinco años?
e) De los 120 000 habitantes del departamento, ¿cuántos serán residentes de las regiones 1, 2 y 3 en el largo plazo?
a) R1 R2 R3
R1 0.74 0.16 0.10
T = R2 0.15 0.73 0.12
R3 0.08 0.14 0.78
b) La probabilidad de que un residente en la región 1 ahora, siga siendo residente en la región 1 el próximo año es 0.74.
Cuando no se da el vector de estado inicial Vo, entonces Xn = Tn . De manera que para calcular la probabilidad de que un residente de la región 1 ahora, sea residente de la región 1 después de 2 años, se debe calcular T2
0.5796 0.2492 0.1712
T2 = 0.2301 0.5737 0.1962
0.1426 0.2242 0.6332
Respuesta: La probabilidad de que un residente de la región 1 ahora, siga siendo residente de esta región después de 2 años es 0.5796
c) Vo = ( 0.35 0.40 0.25 )
x3 = Vo T3 = ( 0.35 0.40 0.25 )
Cadenas de Markov con estados absorbentes.
Un estado K es absorbente si aii es igual a 1. Una matriz tiene estados absorbentes, si un elemento en la diagonal es 1.
Ejemplo.
Una tienda tiene un total de Q 150 000 en cuentas por cobrar, de los cuales Q50 000 se encuentran de
E1= Cuenta pagada
E2= Cuenta incobrable 1 0 0 0
E3= De 0 – 30 días T = 0 1 0 0
E4= De 31 – 90 días 0.4 0 0.3 0.3
0.4 0.2 0.3 0.1
1. Se divide la matriz de transición en cuatro submatrices:
1 0 0.4 0 0.3 0.3
0 1 0.4 0.2 0.3 0.1
2. Se determina la matriz fundamental F = ( I – S )-1
Ejemplo:
En una investigación de mercado, se reunió información de consumidores durante un periodo de 10 semanas. De los datos se obtuvo que de los que compraron en la tienda A en una semana dada, 90% regresó a A en la semana siguiente, en tanto que 10% se cambió a la tienda B. Para clientes que compraron en B en una semana dada, 80% regresó a B en la semana siguiente y el 20% se cambió a A.
a) Determine la matriz de transición T.
b) Cuántos estarán comprando en cada una de las tiendas en el largo plazo de una población total de 8 000 habitantes.
c) El gerente de B está considerando la posibilidad de una campaña publicitaria para atraer más clientes de A hacia B. El gerente de B piensa que esta estrategia incrementará de
NOTA: 1) Las probabilidad es 0.90 y 0.80 se interpretan como medidas de lealtad hacia las tiendas, ya que indican la probabilidad de una visita repetida a una misma tienda.
2) Las probabilidades de estado estable, se pueden interpretar como la penetración en el mercado de cada una de las tiendas.
Planificación de personal
Una empresa de ingenieros emplea a tres categorías de ingenieros: principiantes, con experiencia y socios. Durante un año determinado hay una probabilidad de 0.15 que un in geniero principiante sea ascendido a ingeniero con experiencia y una probabilidad de 0.05 que deje la empresa sin ser socio. También, hay una probabilidad de 0.20 que un ingeniero con experiencia sea ascendido a socio y una probabilidad de 0.10 que udeje la empresa sin ser socio. También hay una probabilidad de 0.05 de que un socio deje la empresa. La empresa nunca degrada a un ingeniero.
A) ¿Cuál es la duración promedio de un ingeniero principiante recién contratado en la empresa?
B) ¿Cuál es la probabilidad de que un ingeniero principiante llegue a ser socio?
C) ¿Cuál es la duración promedio que pasa un socio en la empresa?
E1 = Principiante E3 = Socio E5 = Sale siendo socio
E2 = Experimentado E4 = Sale sin ser socio
Matriz de transición T
0.80 0.15 0.0 0.05 0.0 Los últimos dos
0.0 0.70 0.20 0.10 0.0 estados son
T = 0.0 0.0 0.95 0.0 0.05 absorbentes, los
0.0 0.0 0.0 1 0.0 demás son
0.0 0.0 0.0 0.0 1 transitorios.
Submatrices:
0.80 0.15 0.0 0.05 0
S = 0.0 0.70 0.20 R = 0.10 0
0.0 0.0 0.95 0.0 0.05
0.20 - 0.15 0 5 2.5 10
I – S = 0.0 0.30 - 0.20 F = 0 10/3 40/3
0.0 0.0 0.05 0 0 20
0.50 0.50
FR = 1/3 2/3
0.0 1
Respuestas:
a) Tiempo esperado que un ingeniero principiante permanece en la empresa = tiempo de principiante como principiante + tiempo de principiante como ingeniero con experiencia + tiempo de principiante como socio = F11 + F12 + F13 = 5 + 2.5 + 10 = 17.5 años.
b) La probabilidad de que un ingeniero principiante llegue a ser socio es tan sólo la probabilidad de que salga de la empresa siendo socio. Esto es el elemento FR12 = 0.50
c) Como E3 es socio, se busca el número esperado de años que pasa en E3, dado que se inició en E3. Este es el elemento F33 = 20 años, o sea que debe tardar un promedio de 20 años en dejar la empresa.
Método de flujos o de ecuaciones de balance para calcular probabilidades del vector de estado estable Q
Ejemplo:
Un taller tiene dos máquinas iguales en operación continua excepto cuando se descomponen. Como lo hacen con bastante frecuencia, la tarea prioritaria es repararlas. El tiempo medio requerido para reparar una máquina es de medio día. El tiempo que transcurre para que una máquina llegue al taller de reparaciones es de 1 día. El estado Ei (número de máquinas descompuestas), aumenta en 1 cuando ocurre una descompostura y disminuye en 1 cuando termina una reparación. El tiempo esperado de reparación es de ½ día, de manera que las reparaciones son de 2 por día. El tiempo esperado hasta que se descompone una máquina en operación es de 1 día. Calcule las probabilidades de que las máquinas estén descompuestas en el largo plazo.
E0 = Cero máquinas descompuestas. E2 = dos máquinas descompuestas.
E1 = Una máquina descompuesta.
q01 = 2 q12 = 1
Estado E0 E1 E2
q10 = 2 q21 = 2
q01 y q12 representan la tasa de descompostura, es decir, cuántas máquinas se pueden descomponer estando en reparación.
q10 y q21 representan la tasa a la que se terminan las reparaciones cuando hay máquinas descompuestas.
Ecuaciones de balance: Lo que entra a un nodo es igual a lo que sale del nodo.
En el estado E0 : 2q0 = 2q1
En el estado E1 : 2 q0 + 2 q2 = q1 + 2 q1 = 3 q1
En el estado E2 : q1 = 2 q2
q0 - q1 = 0 E1 E2 E3
2 q0 - 3 q1 + 2 q2 = 0 Resp : Q = (0.40 0.40 0.20)
q1 - 2 q2 = 0
q0 + q1 + q2 = 1
Interpretación: En el largo plazo, ambas máquinas estarán descompuestas simultáneamente 20% del tiempo; las dos máquinas estarán simultáneamente buenas el 40% del tiempo y 1 máquina estará descompuesta otro 40% del tiempo.
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